Ejercicios tercer corte

1. El conjunto W = {(x, y, z) ∈ R3 / x + y + z = 0, 2x − y = a} verifica que:

a) para todo a ∈ R es un subespacio vectorial de R3.

b) para a = 0 es un subespacio vectorial de R3.

c) para a = 3, no es un subespacio vectorial R3.

2. Sean W1 y W2 subconjuntos de R3 definidos por:

W1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y = 0} ; W2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0}

Entonces se verifica: que W1, W2 y W1 ∩W2 son subespacios de R3

a) W1 ∩W2 no es subespacio vectorial.

b) W1 ∩W2 = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0}.

c) W1 ∩W2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y = 0, z = 0}.

3. El conjunto de vectores M = {_u1 = (1, 1, 2, 1), _u2 = (0, 2, 3, 1), _u3 = (2, 0, a, 1)} verifica que:

a) M es un conjunto de vectores linealmente independiente para cualquier valor de a.

b) M es un conjunto de vectores linealmente dependiente para cualquier valor de a.

4. Estudiar, razonando las respuestas, si las siguientes afirmaciones son verdaderas.

a) Sea W el subespacio vectorial de R3 generado por el siguiente conjunto de vectores:

G = {(1, 2, 1), (0, 1, 0), (1, 0,−1), (1, 1,−1)}.

Entonces W = R3.

b) El conjunto W = {(x, y, z, t) ∈ R4/ x + y + z = 0, x − y + z = 0, x − z = 0} es un

subespacio vectorial de R4.

c) Sean _u1, _u2, _u3, _u4 ∈ R3   cuatro vectores no nulos y distintos entre sí. Sea W el subespacio generado por esos cuatro vectores. Entonces se verifica que W = R3.
 
5. Averiguar si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de R4:
A = {(x, y, z, t)| 2x + z = 0},             
B = {(x, y, z, t)|x + y = 0, z − t = 0},
C = {(x, y, z, t)| 2x + y = 3},             
D = {(x, y, z, t)|x + y = 0 ó z − t = 0},
E = {(x, y, z, t)| t ≤ 0},                     
F = {(x, y, z, t)| x = y, z = 2t, x + y = 0}.
G = {(x, y, z, t)| xy = 0}. 


6. Estudiar si el sistema de vectores {(1,−1, 2), (−1, 1, 2), (0, 0, 1)} generan R3.

7. ¿Son los vectores (1, 2, 3), (1, 1, 1) combinación lineal de los vectores del sistema S = {(1, 0, 2), (0, 2, 2)}?

8. Estudiar si los siguientes vectores son linealmente dependientes o independientes:
(a) (1, 2), (2, 3), (5, 8)
(b) (1, 2, 3), (2, 0,−1), (0, 4, 7)
(c) (1, 2, 1)(3, 1, 1)(1, 0,−1)
(d) (1,−2, 1, 1), (3, 0, 2,−2), (0, 4,−1, 1)
(e) (1, 2, 3, 0), (1, 0, 0, 1), (1, 0, 0,−1), (0, 2, 3, 1)

9. Encontrar subconjuntos de vectores linealmente independientes de los conjuntos de vectores del
ejercicio anterior que hayan resultado ser linealmente dependientes.


10. Decida si S es un subespacio de V y justifique su respuesta:
(a) S = {(1, x, y)|x, y 2 IR} con V = IR3.
(b) S = {(x, y, z)|x − y = y + z} con V = IR3.
(c) S = {A 2 M(n, IR)|A es sim´etrica} con V = M(n, IR).
(d) S = {(x, y, z,w)|x − y = 0, z − w = 0} con V = IR4.
(e) S = {x 2 IRn|Ax = e1} donde A es una matriz m × n de rango m y V = IRn.
(f) S = {(x, y, z,w)|x + y + z + w + 1 = 0} con V = IR4.
(g) S = {x 2 IRp|x · a = 0} donde a 2 V = IRp.
 

Solución

a) S = {(1, x, y)/x, y 2 IR} no es subespacio de IR3 porque (0, 0, 0) 62 S.
c) S = {A 2 M(n, IR)|A es sim´etrica} es un subespacio deM(n, IR) porque si A pertenece a S,
B  pertenece a S y pertenece a IR entonces At = A y
Bt = B, luego (A+ B)t = At+ Bt = A+ B y A+ B 2 S.
e) No es subespacio, porque no contiene el cero de IRn.
g) Es subespacio, porque si x, y pertenece a S y pertenece a IR entonces x·a = 0  y y · a = 0, de manera que (x + y) · a = x · a + y · a = 0,
luego (x + y) pertenece a S.